数组中两个数的最大异或值

题目

给你一个整数数组 nums ，返回 nums[i] XOR nums[j] 的最大运算结果，其中 0 ≤ i ≤ j < n 。

示例 1：

输入：nums = [3,10,5,25,2,8]
输出：28
解释：最大运算结果是 5 XOR 25 = 28.

示例 2：

输入：nums = [14,70,53,83,49,91,36,80,92,51,66,70]
输出：127

提示：

• 1 <= nums.length <= 2 * 105
• 0 <= nums[i] <= 231 - 1

解答

首先有一个贪心的思想：

尽可能让高位是1，这样结果肯定更大

其次异或运算有一个结论：

a~i~ XOR a~j~ = x 可以推出x XOR a~i~ = a~j~

方法一 哈希表

即我们从高位开始往低位推，假设该位是1，让他这个值与num中的其他值异或，如果结果哈希表能找到，那么就说明该位是1，保留下来该值。

class Solution {
private:
    // 最高位的二进制位编号为 30
    static constexpr int HIGH_BIT = 30;

public:
    int findMaximumXOR(vector<int>& nums) {
        int x = 0;
        for (int k = HIGH_BIT; k >= 0; --k) {
            unordered_set<int> seen;
            // 将所有的 pre^k(a_j) 放入哈希表中
            for (int num: nums) {
                // 如果只想保留从最高位开始到第 k 个二进制位为止的部分
                // 只需将其右移 k 位
                seen.insert(num >> k);
            }

            // 目前 x 包含从最高位开始到第 k+1 个二进制位为止的部分
            // 我们将 x 的第 k 个二进制位置为 1，即为 x = x*2+1
            int x_next = x * 2 + 1;
            bool found = false;
            
            // 枚举 i
            for (int num: nums) {
                if (seen.count(x_next ^ (num >> k))) {
                    found = true;
                    break;
                }
            }

            if (found) {
                x = x_next;
            }
            else {
                // 如果没有找到满足等式的 a_i 和 a_j，那么 x 的第 k 个二进制位只能为 0
                // 即为 x = x*2
                x = x_next - 1;
            }
        }
        return x;
    }
};

方法二 字典树

struct Trie {
    // 左子树指向表示 0 的子节点
    Trie* left = nullptr;
    // 右子树指向表示 1 的子节点
    Trie* right = nullptr;

    Trie() {}
};

class Solution {
private:
    // 字典树的根节点
    Trie* root = new Trie();
    // 最高位的二进制位编号为 30
    static constexpr int HIGH_BIT = 30;

public:
    void add(int num) {
        Trie* cur = root;
        for (int k = HIGH_BIT; k >= 0; --k) {
            int bit = (num >> k) & 1;
            if (bit == 0) {
                if (!cur->left) {
                    cur->left = new Trie();
                }
                cur = cur->left;
            }
            else {
                if (!cur->right) {
                    cur->right = new Trie();
                }
                cur = cur->right;
            }
        }
    }

    int check(int num) {
        Trie* cur = root;
        int x = 0;
        for (int k = HIGH_BIT; k >= 0; --k) {
            int bit = (num >> k) & 1;
            if (bit == 0) {
                // a_i 的第 k 个二进制位为 0，应当往表示 1 的子节点 right 走
                if (cur->right) {
                    cur = cur->right;
                    x = x * 2 + 1;
                }
                else {
                    cur = cur->left;
                    x = x * 2;
                }
            }
            else {
                // a_i 的第 k 个二进制位为 1，应当往表示 0 的子节点 left 走
                if (cur->left) {
                    cur = cur->left;
                    x = x * 2 + 1;
                }
                else {
                    cur = cur->right;
                    x = x * 2;
                }
            }
        }
        return x;
    }

    int findMaximumXOR(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int x = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            // 将 nums[i-1] 放入字典树，此时 nums[0 .. i-1] 都在字典树中
            add(nums[i - 1]);
            // 将 nums[i] 看作 ai，找出最大的 x 更新答案
            x = max(x, check(nums[i]));
        }
        return x;
    }
};